Blijft het 51ste Mersenne priemgetal nummer 51?

Uit de wiskundebrief 832

In onze vorige post konden we u op de valreep nog melden dat er weer een nieuw Mersen­ne priemge­tal was ontdekt. Daarmee hebben we weer een nieuwe record­houder in de rubriek “groot­ste bekende priemge­tal”. Het vorige maand ontdek­te Mersen­ne priemge­tal 2^2589933 − 1 heeft voorlo­pig nummer 51 gekre­gen maar dat kan nog verande­ren.

Offi­ciëel is 2^2589933 − 1 het 51^e bekende Mersen­ne priemge­tal. Of dit getal ook het rangnum­mer 51 zal behou­den, is echter nog de vraag. De Mersen­ne priemge­tallen worden name­lijk genum­merd naar grootte. In de regel is een nieuw gevon­den Mersen­ne priemge­tal groter dan alle voorgan­gers maar dat is niet altijd het geval.

Mersen­ne hernum­mering
Zo werd op 23 augus­tus 2008 het 45^e Mersen­ne priemge­tal 2^43112609 − 1 ontdekt. Dit getal kreeg daarom ook het rangnum­mer 45. Een maand later werd een nieuw Mersen­ne priemge­tal ontdekt dat kleiner was. Dit nieuwe priemge­tal kreeg nummer 45 en nummer 45 werd omge­doopt tot nummer 46. Nog geen jaar later werd er een nieuwe Mersen­ne priemge­tal ontdekt dat tussen beide vorige ontdek­kingen in lag. Weer was er een hernum­mering nodig. Het 45^e ontdek­te Mersen­ne priemge­tal is dus nu het 47^e Mersen­ne priemge­tal.

Na jaren reken­werk is men er sinds kort zeker van dat er geen Mersen­ne priemge­tallen bestaan die kleiner zijn dan nummer 47. De numme­ring tot en met nummer 47 is nu defini­tief. Daarbo­ven kan er in de komende jaren echter nog van alles gebeu­ren.

Regel­maat
Als we van de bekende Mersen­ne priemge­tallen het aantal cijfers of de expo­nent van het getal uitzet­ten tegen het jaar van ontdek­king, dan is er een opmerke­lijk regel­maat te ontdek­ken.

Over het alge­meen liggen de in deze eeuw ontdek­te Mersen­ne priemge­tallen aardig op een rechte lijn. Grofweg komt het er op neer dat er voor ieder jaar aan onder­zoek steeds ruim een miljoen cijfers extra zijn te verwach­ten. Maar in hoever­re dit iets zegt over de Mersen­ne priemge­tallen zelf is maar de vraag. Het is zelfs nog steeds niet duide­lijk of er echt onein­dig veel Mersen­ne priemge­tallen bestaan.